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\begin{document}
\title{作业一: 翻译 }

\author{聂宇潇  3220101556}
\maketitle

\section{不可压缩的Navier-Stokes方程}
二维不可压缩流体的流场完全由速度向量$q=(u(x,y),v(x,y))\in R^2$和压力$p(x,y)\in R$描述\cite{ref1}。这些函数是以下守恒定律的解（例如，参见Hirsch,1988)

\begin{itemize}
 \item 质量守恒：\begin{equation}
   \label{eq1}
	div(q)=0
 \end{equation}或者，使用散度算\footnote{我们回顾一下二维场中的差分算子散度、梯度和拉普拉斯算子的定义：如果$v=(v_x,v_y)$:$R\rightarrow R$，并且$\phi$ :$R^2\rightarrow R$，那么$div(v)=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}$，$\mathcal{G}\phi=( \frac{\partial \phi}{\partial x}$,$\frac{\partial \phi}{\partial y})$和$\Delta v=(\Delta v_x,\Delta v_y)$}子的显式形式表示为：
   \begin{equation}
     \label{eq2}
     \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0
   \end{equation}
 \item 动量守恒方程的紧凑形式为\footnote{我们用$\otimes$表示张量积}：\begin{equation}\label{eq3}\frac{\partial q}{\partial t}+div(q\otimes q)=-\mathcal{G}p+\frac{1}{Re}\Delta \end{equation}或者以显式形式：
   \begin{equation}
   \label{eq4}
   \left\{
   \begin{aligned}
     \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u^2}{\partial x}+\frac{\partial uv}{\partial y}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{1}{Re}(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2})\\
     \frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial uv}{\partial x}+\frac{\partial v^2}{\partial y}=-\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{1}{Re}(\frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2})
   \end{aligned}
   \right.
   \end{equation}
\end{itemize}

这里的先前方程是以无量纲形式书写的，使用以下缩放变量：
\begin{equation}
  \label{eq5}
  x=\frac{\mathbf{x}^*}{L},y=\frac{\mathbf{y}^*}{L},u=\frac{\mathbf{u}^*}{V_0},u=\frac{\mathbf{v}^*}{V_0},t=\frac{\mathbf{t}^*}{\frac{L}{V_0}},p=\frac{\mathbf{p}^*}{\rho V_{02}},
\end{equation}
其中上标（*）表示以物理单位测量的变量。常数 L 和 $V_0$ 分别是描述模拟流动的参考长度和速度。无量纲数 Re 称为雷诺数，用于量化流动中惯性（或对流）项与粘性（或扩散）项的相对重要性:
\begin{equation}
  \label{eq6}
  Re=\frac{V_0L}{\nu}
\end{equation}
其中$\nu$指流体的动力粘度。

总结起来，将在这个项目中数值求解的纳维-斯托克斯偏微分方程系统由式(12.2)和(12.4)定义；初始条件（在t = 0时）和边界条件将在接下来的章节中进行讨论。

\section{计算域、交错网格和边界条件}
通过考虑一个长为$ L_x$，宽为$ L_y$ 的矩形区域（见图12.1），并在各处应用周期边界条件，可以极大地简化数值求解Navier-stokes方程组的过程。速度$ q(x, y)$ 和压力$ p(x, y)$ 场的周期性在数学上表示为：
\begin{equation}
  \label{eq7}
  q(0,y)=q(L_x,y),p(0,y)=p(L_x,y),\forall y \in [0.L_y],
  \end {equation}
\begin{equation}
  \label{eq8}
  q(x,0)=q(x,L_y),p(x,0)=p(x,L_x),\forall x \in [0,L_x],
\end{equation}
解将被计算的点在域内按照矩形和均匀的二维网格进行分布。由于在我们的方法中，并不是所有的变量都共享同一个网格，因此我们首先定义一个主网格（见256页第12节求解二位的Navier-Stokes方程的图12.1），通过在x方向上取$n_x$个计算点，在y方向上取$n_y$个计算点生成:
\begin{equation}
  \label{eq9}
  x_c(i)=(i-1)\delta x,\delta x=\frac{L_x}{n_x-1},i=1,2,...,n_x
  \end{equation}
\begin{equation}
  \label{eq10}
  y_c(i)=(i-1)\delta y,\delta y=\frac{L_y}{n_y-1},i=1,2,...,n_y
\end{equation}
\begin{tikzpicture}[scale=2]

  \draw[thick] (0,0) -- (0,3) -- (3,3) -- (3,0) -- cycle;

  \draw[<->, thick] (0,1.5) -- node[left]{$\frac{1}{3}a$} (1,1.5);
  \draw[<->, thick] (1.5,0) -- node[below]{$\frac{1}{3}a$} (1.5,1);
  \draw[<->, thick] (3,1.5) -- node[left]{$\frac{1}{3}a$} (2,1.5);
  \draw[<->, thick] (1.5,3) -- node[below]{$\frac{1}{3}a$} (1.5,2);
  \node at (1.5,-0.5) {图12.1};
\end{tikzpicture}
\\次级网格由主要网格单元的中心定义：
\begin{equation}
  \label{eq11}
  x_m(i)=(i-\frac{1}{2}\delta x, i=1,...,n_{xm},
  \end {equation}
\begin{equation}
  \label{eq12}
  y_m(j)=(j-\frac{1}{2}\delta y, j=1,...,n_{ym},
\end {equation}
在此处，我们使用简写符号$n_{xm}=n_x-1$,$n_{ym}=n_y-1$。在一个被定义为矩形$ [x_c(i), x_c(i + 1)] × [y_c(j), y_c(j + 1)] $的计算单元内，未知变量 u、v、p 将被计算为在不同空间位置上的解的近似值:
\begin{itemize}
\item $u(i,j)$ $\approx$ $u(x_c(i),y_m(j))$ (西侧面）
\item $v(i,j)$ $\approx$ $v(x_c(i),y_m(j))$ (南侧面）
\item $p(i,j)$ $\approx$ $p(x_c(i),y_m(j))$ (中心面）
\end{itemize}
这种变量的错位排列具有压力和速度之间强耦合的优点。它还有助于（请参阅本章末尾的参考文献）避免在位置对齐排列中（其中所有变量在相同网格点上计算）出现的一些稳定性和收敛性问题。



\bibliography{references} 
\bibliographystyle{plain} 


\end{document}
